حل تمرین ، فعالیت کلاسی صفحه 3و4 ریاضی یازدهم

برای تعیین وضعیت دو خط، ابتدا باید شیب هر خط را به فرم استاندارد $y = mx + b$ به دست آوریم. **الف) $L: y = 5x - 2$ و $T: y = -\frac{1}{5}x + 3$** * شیب خط $L$: $m_L = 5$ * شیب خط $T$: $m_T = -\frac{1}{5}$ * حاصل ضرب شیب‌ها: $m_L m_T = 5 \times \left( -\frac{1}{5} \right) = -1$. * **نتیجه**: چون حاصل ضرب شیب‌ها $-1$ است، دو خط **عمود** بر یکدیگرند. **ب) $L: y = \frac{1}{2}x + 7$ و $T: x - 2y = 1$** * شیب خط $L$: $m_L = \frac{1}{2}$ * خط $T$ را به فرم $y = mx + b$ می‌بریم: $x - 1 = 2y \Rightarrow y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$. * شیب خط $T$: $m_T = \frac{1}{2}$ * **نتیجه**: چون $m_L = m_T$ است، دو خط **موازی** هستند. **پ) $L: 2x - 3y + 3 = 0$ و $T: 3x + 2y = 0$** * خط $L$: $-3y = -2x - 3 \Rightarrow y = \frac{2}{3}x + 1$. پس $m_L = \frac{2}{3}$. * خط $T$: $2y = -3x \Rightarrow y = -\frac{3}{2}x$. پس $m_T = -\frac{3}{2}$. * حاصل ضرب شیب‌ها: $m_L m_T = \frac{2}{3} \times \left( -\frac{3}{2} \right) = -1$. * **نتیجه**: چون حاصل ضرب شیب‌ها $-1$ است، دو خط **عمود** بر یکدیگرند. **ت) $L: x = 1$ و $T: y = -3$** * خط $L: x = 1$ یک خط **عمودی** است (موازی محور $y$) و شیب آن **تعریف نشده** است ($m_L$: تعریف نشده). * خط $T: y = -3$ یک خط **افقی** است (موازی محور $x$) و شیب آن $m_T = 0$ است. * **نتیجه**: یک خط عمودی و یک خط افقی همیشه بر هم **عمود** هستند. **ث) $L: y = 3x + 1$ و $T: x = 3y - 1$** * شیب خط $L$: $m_L = 3$ * خط $T$ را به فرم $y = mx + b$ می‌بریم: $x + 1 = 3y \Rightarrow y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$. * شیب خط $T$: $m_T = \frac{1}{3}$ * **نتیجه**: چون $m_L \neq m_T$ و $m_L m_T = 3 \times \frac{1}{3} = 1 \neq -1$ است، دو خط **متقاطع غیر عمود** هستند.

ابتدا شیب خط $L$ را از معادله $2y - 3x = 1$ به دست می‌آوریم. برای این کار، معادله را به فرم $y = m_L x + b_L$ تبدیل می‌کنیم: $$2y = 3x + 1 \Rightarrow y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$$ بنابراین، شیب خط $L$ برابر است با: $$m_L = \frac{3}{2}$$ شیب خط $T$ به صورت $m_T = m$ در معادله $y = mx + 5$ داده شده است. **الف) موازی بودن خط $T$ با خط $L$** دو خط زمانی موازی‌اند که شیب‌هایشان برابر باشد ($m_T = m_L$): $$m = m_L \Rightarrow m = \frac{3}{2}$$ **ب) عمود بودن دو خط بر یکدیگر** دو خط زمانی برهم عمودند که حاصل ضرب شیب‌هایشان $-1$ باشد ($m_T m_L = -1$): $$m \times \frac{3}{2} = -1$$ $$3m = -2 \Rightarrow m = -\frac{2}{3}$$

مختصات رأس‌ها: $A(5, 1)$ و $B(10, 4)$. **الف) شیب ضلع $AB$** شیب ضلع $AB$ از فرمول $m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ به دست می‌آید: $$m_{AB} = \frac{4 - 1}{10 - 5} = \frac{3}{5}$$ **ب) شیب ضلع $AD$ و معادلهٔ آن** چون $ABCD$ یک مربع است، ضلع $AD$ بر ضلع $AB$ عمود است. بنابراین حاصل ضرب شیب‌هایشان $-1$ است ($m_{AD} \cdot m_{AB} = -1$): $$m_{AD} \cdot \frac{3}{5} = -1 \Rightarrow m_{AD} = -\frac{5}{3}$$ معادلهٔ خط $AD$ با استفاده از شیب $m_{AD} = -\frac{5}{3}$ و نقطهٔ $A(5, 1)$ (فرمول نقطه-شیب: $y - y_1 = m(x - x_1)$): $$y - 1 = -\frac{5}{3}(x - 5)$$ $$3(y - 1) = -5(x - 5)$$ $$3y - 3 = -5x + 25$$ **معادلهٔ ضلع $AD$**: $$5x + 3y = 28$$ **پ) مختصات رأس $D$** نقطه $D(x_D, y_D)$ چهارمین رأس مربع است. از آنجا که در یک مربع، بردارها برابرند، می‌توانیم از برابری بردارها استفاده کنیم. $$\vec{AD} = \vec{BC}$$ مختصات $A(5, 1)$, $B(10, 4)$, $C(7, 9)$. $$\vec{AD} = (x_D - 5, y_D - 1)$$ $$\vec{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B) = (7 - 10, 9 - 4) = (-3, 5)$$ با مساوی قرار دادن مؤلفه‌ها: $$x_D - 5 = -3 \Rightarrow x_D = 5 - 3 = 2$$ $$y_D - 1 = 5 \Rightarrow y_D = 5 + 1 = 6$$ **مختصات رأس $D$**: $$D(2, 6)$$ **ت) رسم مربع** رأس‌ها: $A(5, 1)$, $B(10, 4)$, $C(7, 9)$, $D(2, 6)$. برای رسم کافی است این چهار نقطه را در صفحهٔ مختصات مشخص کرده و به ترتیب به هم وصل کنیم. (رسم در پاسخ تشریحی متنی قابل ارائه نیست، اما نقاط مشخص شده‌اند.)

نقاط داده شده در دستگاه مختصات: $A(2, 0)$, $B(7, 0)$, $C(9, -6)$, $D(9, 3)$ **الف) فاصلهٔ $A$ و $B$** چون نقاط $A$ و $B$ روی محور $x$ قرار دارند، فاصلهٔ آن‌ها برابر با قدر مطلق تفاضل طول‌هایشان است: $$AB = |x_B - x_A|$$ $$AB = |7 - 2| = |5| = 5$$ **رابطه بین فاصله و طول‌ها**: فاصلهٔ دو نقطهٔ افقی برابر با قدر مطلق تفاضل طول‌های آن‌هاست. $$AB = |x_B - x_A|$$ **ب) فاصلهٔ $C$ و $D$** چون نقاط $C$ و $D$ طول یکسان ($x=9$) دارند، روی یک خط عمودی قرار دارند. فاصلهٔ آن‌ها برابر با قدر مطلق تفاضل عرض‌هایشان است: $$CD = |y_D - y_C|$$ $$CD = |3 - (-6)| = |3 + 6| = |9| = 9$$ **بیان فاصلهٔ $C$ و $D$ بر حسب عرض‌ها**: فاصلهٔ دو نقطهٔ عمودی برابر با قدر مطلق تفاضل عرض‌های آن‌هاست. $$CD = |y_D - y_C|$$

**فاصلهٔ $A$ و $B$:** نقاط $A(x_A, 0)$ و $B(x_B, 0)$ روی محور $x$ قرار دارند. فاصلهٔ آن‌ها تفاضل طول‌هایشان است: $$AB = |x_B - x_A|$$ **فاصلهٔ $C$ و $D$:** نقاط $C(0, y_C)$ و $D(0, y_D)$ روی محور $y$ قرار دارند. فاصلهٔ آن‌ها تفاضل عرض‌هایشان است: $$CD = |y_D - y_C|$$ **در حالت کلی می‌توان گفت:** * **فاصلهٔ دو نقطهٔ هم‌عرض (افقی)**: اگر دو نقطهٔ $A(x_A, y_A)$ و $B(x_B, y_B)$ هم‌عرض باشند ($y_A = y_B$)، فاصلهٔ آن‌ها به صورت $$AB = |x_B - x_A|$$ محاسبه می‌شود. * **فاصلهٔ دو نقطهٔ هم‌طول (عمودی)**: اگر دو نقطهٔ $C(x_C, y_C)$ و $D(x_D, y_D)$ هم‌طول باشند ($x_C = x_D$)، فاصلهٔ آن‌ها به صورت $$CD = |y_D - y_C|$$ محاسبه می‌شود.